递归分析、归并、快速排序

 

写在前面

  • 关于文章

    本系列文章主要根据算法大神左神(左程云)的算法与数据结构基础教程进行整理的,这里文章主要学习了有剖析递归行为和递归行为时间复杂度的估算、master公式、归并排序、小和问题、逆序对问题、荷兰国旗问题、快速排序等。这里只是基于Java的相关代码实现。

递归

案例

用递归方法找一个数组中的最大值

	/**
     * 获取数组中最大值的入口方法
     * @param arr
     * @return
     */
    public static int getMax(int[] arr){
        // 调用递归方法
        return process(arr,0, arr.length - 1);
    }


    public static int process(int[] arr, int L, int R){
        // 如果获取区间为一个数 默认直接返回
        if (L == R){
            return arr[L];
        }
        /*
         获取中间值:
         一般写法:mid = (L + R) / 2 问题:如果数组过长,即L+R过大 导致结果溢出
         改进写法:mid = L + (R - L) / 2
         优化写法:int mid = L + ((R - L) >> 1);  位运算较快
          */
        int mid = L + ((R - L) >> 1);
        // 递归调用 依次获取左右区域的最大值 最后得到整个区间的最大值
        int leftMax = process(arr, L, mid);
        int rightMax = process(arr, mid+1, R);
        return Math.max(leftMax, rightMax);
    }

获取中间值:
一般写法:mid = (L + R) / 2 问题:如果数组过长,即L+R过大 导致结果溢出
改进写法:mid = L + (R - L) / 2
优化写法:int mid = L + ((R - L) >> 1); 位运算较快

master公式

T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)

使用

  1. log(b,a) > d -> 复杂度为O(N^log(b,a))
  1. log(b,a) = d -> 复杂度为O(N^d * logN)
  2. log(b,a) < d -> 复杂度为O(N)

作用

用于求解递归问题中的时间复杂度

归并排序

算法步骤

  1. 申请辅助空间,使其大小为两个已经排序序列之和,该空间用来存放合并后的序列;
  2. 设定两个指针,最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置;
  3. 比较两个指针所指向的元素,选择相对小的元素放入到合并空间,并移动指针到下一位置;
  4. 重复步骤 3 直到某一指针达到序列尾;
  5. 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾。

动画演示

img

代码实现

	/**
     * 数组进行归并排序入口
     * @param arr
     */
    private static void mergeSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    /**
     * 递归将指定大范围 分为每个小区间进行归并排序
     * @param arr
     * @param L
     * @param R
     */
    private static void mergeSort(int[] arr, int L, int R) {
        // 如果获取区间为一个数 无需排序默认直接返回
        if (L == R){
            return;
        }
        // 获取指定区间中间位置
        int mid = L + ((R - L) >> 1);
        // 递归将指定大范围 分为每个小区间进行归并排序
        mergeSort(arr, L, mid);
        mergeSort(arr, mid + 1, R);
        merge(arr, L, mid, R);
    }

    /**
     * 实现归并排序
     * @param arr
     * @param L
     * @param mid
     * @param R
     */
    private static void merge(int[] arr, int L, int mid, int R) {
        // 准备辅助数组空间 且大小和指定范围相同 用于保存排好序的数据
        int[] help = new int[(R - L) + 1];
        // 准备指针记录下标
        int helpIndex = 0; //记录辅助数组空间下标
        int p1 = L; //记录左部分起始下标
        int p2 = mid + 1; //记录右部分起始下标

        // 当左右两部分下标均不越界,比较所指两数大小,并将小数存入help 同时将help 和 小数部分下标++
        while (p1 <= mid && p2 <= R) {
            help[helpIndex++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        // 当有一边下标越界,跳出第一个循环
        // 将不越界的一边剩余数据全部拷贝到help中
        // 以下两个循环必定只执行一个
        while (p1 <= mid) {
            help[helpIndex++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= R) {
            help[helpIndex++] = arr[p2++];
        }
        // 拷贝help数组到原有数组即可!
        for (int i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[L + i] = help[i];
        }
    }

算法分析

1)整体就是一个简单递归,左边排好序、右边排好序、让其整体有序

2)让其整体有序的过程里用了外排序方法

3)利用master公式来求解时间复杂度

4)归并排序的实质 归并排序没有浪费任何一次比较,都将比较的结果记录了下来

时间复杂度O(N*logN),额外空间复杂度O(N)

 

归并排序的扩展

小和问题

在一个数组中,每一个数左边比当前数小的数累加起来,叫做这个数组的小和

求一个数组的小和。

例子:[1,3,4,2,5] 1左边比1小的数,没有; 3左边比3小的数,1; 4左 边比4小的数,1、3; 2左边比2小的数,1; 5左边比5小的数,1、3、4、 2; 所以小和为1+1+3+1+1+3+4+2=16

public static int smallSum(int[] arr) {
        // 如果数组为null或者仅有1个或0个元素 直接返回0
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return 0;
        }
        return mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public static int mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return 0;
        }
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        return mergeSort(arr, l, mid)  // 左边部分
                + mergeSort(arr, mid + 1, r) //右边部分
                + merge(arr, l, mid, r);  //
    }

    public static int merge(int[] arr, int l, int m, int r) {
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int i = 0;
        int p1 = l;
        int p2 = m + 1;
        int res = 0;
        while (p1 <= m && p2 <= r) {
            res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while (p1 <= m) {
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= r) {
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[l + i] = help[i];
        }
        return res;
    }

 

逆序对问题

逆序对问题 在一个数组中,左边的数如果比右边的数大,则折两个数 构成一个逆序对,请打印所有逆序对。

// 还没写...

 

荷兰国旗问题

给定一个数组arr,和一个数num,请把小于num的数放在数组的左边,等于num的数放在数组的中间,大于num的数放在数组的右边。要求额外空间复杂度O(1),时间复杂度 O(N)


public static int[] partition(int[] arr, int l, int r, int p) {
		int less = l - 1;
		int more = r + 1;
		while (l < more) {
			if (arr[l] < p) {
				swap(arr, ++less, l++);
			} else if (arr[l] > p) {
				swap(arr, --more, l);
			} else {
				l++;
			}
		}
		return new int[] { less + 1, more - 1 };
	}
 public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;
    }

 

快速排序

算法步骤

  1. 从数列中挑出一个元素,称为 "基准"(pivot);
  2. 重新排序数列,所有元素比基准值小的摆放在基准前面,所有元素比基准值大的摆在基准的后面(相同的数可以到任一边)。在这个分区退出之后,该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区(partition)操作;
  3. 递归地(recursive)把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序;

动画演示

img

代码实现

public static void quickSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public static void quickSort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l < r) {
            swap(arr, l + (int) (Math.random() * (r - l + 1)), r);
            int[] p = partition(arr, l, r);
            quickSort(arr, l, p[0] - 1);
            quickSort(arr, p[1] + 1, r);
        }
    }

    public static int[] partition(int[] arr, int l, int r) {
        int less = l - 1;
        int more = r;
        while (l < more) {
            if (arr[l] < arr[r]) {
                swap(arr, ++less, l++);
            } else if (arr[l] > arr[r]) {
                swap(arr, --more, l);
            } else {
                l++;
            }
        }
        swap(arr, more, r);
        return new int[] { less + 1, more };
    }

    public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;
    }

算法分析

1)在数组范围中,等概率随机选一个数作为划分值,然后把数组通过荷兰国旗问题分成三个部分:

左侧<划分值、中间==划分值、右侧>划分值

2)对左侧范围和右侧范围,递归执行

3)时间复杂度为O(N*logN)

 

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THE END