递归分析、归并、快速排序
写在前面
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本系列文章主要根据算法大神左神（左程云）的算法与数据结构基础教程进行整理的，这里文章主要学习了有剖析递归行为和递归行为时间复杂度的估算、master公式、归并排序、小和问题、逆序对问题、荷兰国旗问题、快速排序等。这里只是基于Java的相关代码实现。
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编程那点事儿
递归
案例
用递归方法找一个数组中的最大值
/**
* 获取数组中最大值的入口方法
* @param arr
* @return
*/
public static int getMax(int[] arr){
// 调用递归方法
return process(arr,0, arr.length - 1);
}
public static int process(int[] arr, int L, int R){
// 如果获取区间为一个数 默认直接返回
if (L == R){
return arr[L];
}
/*
获取中间值：
一般写法：mid = (L + R) / 2 问题：如果数组过长，即L+R过大 导致结果溢出
改进写法：mid = L + (R - L) / 2
优化写法：int mid = L + ((R - L) >> 1); 位运算较快
*/
int mid = L + ((R - L) >> 1);
// 递归调用 依次获取左右区域的最大值 最后得到整个区间的最大值
int leftMax = process(arr, L, mid);
int rightMax = process(arr, mid+1, R);
return Math.max(leftMax, rightMax);
}
获取中间值：
一般写法：mid = (L + R) / 2 问题：如果数组过长，即L+R过大 导致结果溢出
改进写法：mid = L + (R - L) / 2
优化写法：int mid = L + ((R - L) >> 1); 位运算较快
master公式
T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)
使用
log(b,a) > d -> 复杂度为O(N^log(b,a))
log(b,a) = d -> 复杂度为O(N^d * logN)log(b,a) < d -> 复杂度为O(N)
作用
用于求解递归问题中的时间复杂度
归并排序
算法步骤
- 申请辅助空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列；
- 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置；
- 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置；
- 重复步骤 3 直到某一指针达到序列尾；
- 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾。
动画演示
代码实现
/**
* 数组进行归并排序入口
* @param arr
*/
private static void mergeSort(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
}
/**
* 递归将指定大范围 分为每个小区间进行归并排序
* @param arr
* @param L
* @param R
*/
private static void mergeSort(int[] arr, int L, int R) {
// 如果获取区间为一个数 无需排序默认直接返回
if (L == R){
return;
}
// 获取指定区间中间位置
int mid = L + ((R - L) >> 1);
// 递归将指定大范围 分为每个小区间进行归并排序
mergeSort(arr, L, mid);
mergeSort(arr, mid + 1, R);
merge(arr, L, mid, R);
}
/**
* 实现归并排序
* @param arr
* @param L
* @param mid
* @param R
*/
private static void merge(int[] arr, int L, int mid, int R) {
// 准备辅助数组空间 且大小和指定范围相同 用于保存排好序的数据
int[] help = new int[(R - L) + 1];
// 准备指针记录下标
int helpIndex = 0; //记录辅助数组空间下标
int p1 = L; //记录左部分起始下标
int p2 = mid + 1; //记录右部分起始下标
// 当左右两部分下标均不越界，比较所指两数大小，并将小数存入help 同时将help 和 小数部分下标++
while (p1 <= mid && p2 <= R) {
help[helpIndex++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
}
// 当有一边下标越界，跳出第一个循环
// 将不越界的一边剩余数据全部拷贝到help中
// 以下两个循环必定只执行一个
while (p1 <= mid) {
help[helpIndex++] = arr[p1++];
}
while (p2 <= R) {
help[helpIndex++] = arr[p2++];
}
// 拷贝help数组到原有数组即可！
for (int i = 0; i < help.length; i++) {
arr[L + i] = help[i];
}
}
算法分析
1）整体就是一个简单递归，左边排好序、右边排好序、让其整体有序
2）让其整体有序的过程里用了外排序方法
3）利用master公式来求解时间复杂度
4）归并排序的实质 归并排序没有浪费任何一次比较，都将比较的结果记录了下来
时间复杂度O(N*logN)，额外空间复杂度O(N)
归并排序的扩展
小和问题
在一个数组中，每一个数左边比当前数小的数累加起来，叫做这个数组的小和。
求一个数组的小和。
例子:[1,3,4,2,5] 1左边比1小的数，没有; 3左边比3小的数，1; 4左 边比4小的数，1、3; 2左边比2小的数，1; 5左边比5小的数，1、3、4、 2; 所以小和为1+1+3+1+1+3+4+2=16
public static int smallSum(int[] arr) {
// 如果数组为null或者仅有1个或0个元素 直接返回0
if (arr == null || arr.length < 2) {
return 0;
}
return mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
}
public static int mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
if (l == r) {
return 0;
}
int mid = l + ((r - l) >> 1);
return mergeSort(arr, l, mid) // 左边部分
+ mergeSort(arr, mid + 1, r) //右边部分
+ merge(arr, l, mid, r); //
}
public static int merge(int[] arr, int l, int m, int r) {
int[] help = new int[r - l + 1];
int i = 0;
int p1 = l;
int p2 = m + 1;
int res = 0;
while (p1 <= m && p2 <= r) {
res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;
help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
}
while (p1 <= m) {
help[i++] = arr[p1++];
}
while (p2 <= r) {
help[i++] = arr[p2++];
}
for (i = 0; i < help.length; i++) {
arr[l + i] = help[i];
}
return res;
}
逆序对问题
逆序对问题 在一个数组中，左边的数如果比右边的数大，则折两个数 构成一个逆序对，请打印所有逆序对。
// 还没写...
荷兰国旗问题
给定一个数组arr，和一个数num，请把小于num的数放在数组的左边，等于num的数放在数组的中间，大于num的数放在数组的右边。要求额外空间复杂度O(1)，时间复杂度 O(N)
public static int[] partition(int[] arr, int l, int r, int p) {
int less = l - 1;
int more = r + 1;
while (l < more) {
if (arr[l] < p) {
swap(arr, ++less, l++);
} else if (arr[l] > p) {
swap(arr, --more, l);
} else {
l++;
}
}
return new int[] { less + 1, more - 1 };
}
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
快速排序
算法步骤
- 从数列中挑出一个元素，称为 "基准"（pivot）;
- 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
- 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序；
动画演示
代码实现
public static void quickSort(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}
public static void quickSort(int[] arr, int l, int r) {
if (l < r) {
swap(arr, l + (int) (Math.random() * (r - l + 1)), r);
int[] p = partition(arr, l, r);
quickSort(arr, l, p[0] - 1);
quickSort(arr, p[1] + 1, r);
}
}
public static int[] partition(int[] arr, int l, int r) {
int less = l - 1;
int more = r;
while (l < more) {
if (arr[l] < arr[r]) {
swap(arr, ++less, l++);
} else if (arr[l] > arr[r]) {
swap(arr, --more, l);
} else {
l++;
}
}
swap(arr, more, r);
return new int[] { less + 1, more };
}
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
算法分析
1）在数组范围中，等概率随机选一个数作为划分值，然后把数组通过荷兰国旗问题分成三个部分：
左侧<划分值、中间==划分值、右侧>划分值
2）对左侧范围和右侧范围，递归执行
3）时间复杂度为O(N*logN)
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